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Wir haben soeben den Begriff einer Gruppe definiert und uns den Begriff am Beispiel des Wasser-Moleküls anschaulich gemacht. In der Definition hatten die Elemente der Gruppe keine konkrete Bedeutung. Eine solche Gruppe heißt abstrakte Gruppe. Sobald wir den Elementen der Gruppe eine konkrete Bedeutung zuschreiben, erhalten wir eine Darstellung der Gruppe.

Wir machen uns die neuen Begriffe am einfachsten, nicht trivialen Beispiel klar. Dazu betrachten wir eine Menge von zwei Elementen E und A, zwischen denen die folgenden Beziehungen bestehen:

 EE = E ² = E
 EA = AE = A
 AA = A ² = E

Die beiden Elemente E und A bilden offenbar eine Gruppe, wobei E das Einselement der Gruppe ist. Wir betrachten verschiedene Darstellungen der Gruppe:
1. Wir identifizieren E mit der SO des "in Ruhe Lassens" und A mit einer Drehung C₂. Die resultierende Gruppe G = {E, C₂} ist uns schon als Untergruppe der Symmetriegruppe des H₂O-Moleküls begegnet.
2. In den anderen Untergruppen der Symmetriegruppe des H₂O-Moleküls ist A eine Spiegelung an einer Ebene. Die resultierende Gruppe ist G = {E, σ_v}.
3. Wir setzen für E die Zahl 1 und für A die Zahl -1. Als Zusammensetzungsvorschrift nehmen wir die gewöhnliche Multiplikation. Die resultierende Gruppe ist G = {1, -1}.
4. Wir setzen für E den Wahrheitswert "t" für wahr und für A den Wahrheitswert "f" für unwahr oder falsch. Die resultierende Gruppe ist G = {t, f}. Es gilt tt = t, tf = ft = f und ff = t.

Fazit
Wir haben vier Darstellungen mit ganz verschiedenen Bedeutungen der Gruppenelemente. Die logische Struktur der vier Gruppen ist immer die gleiche. In der abstrakten Gruppe ist von der Bedeutung der Gruppenelemente abstrahiert: Es geht nur noch um die logische Struktur der Gruppe.

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