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Drehsymmetrie

Übung 1
  Quadratische Fliese: eine vierzählige Achse; die Oberseite und die Unterseite sind verschieden.
  Rechteckige Fliese: eine (nur) zweizählige Achse.
  Ziegelstein: ein orthogonales Dreibein von zweizähligen Achsen.
  Schraubendreher für Schlitzschrauben: eine zweizählige Achse.
  Schraubendreher für Kreuzschlitzschrauben: eine vierzählige Achse.
  Kegel, Teller, Weinflasche: eine unendlichzählige Achse.
  Zylinder, Dose: eine unendlichzählige Achse, senkrecht dazu zweizählige Achsen, unendlich viele.

Übung 2
1. Beim Zylinder und bei Konservendosen sind die obere und die untere Hälfte gleich; sie haben senkrecht zur unendlichzähligen Achse unendlich viele zweizählige Achsen. Man spricht von der Hauptachse und den Nebenachsen. Beim Kegel, der Weinflasche und bei vielen Getränkedosen sind die obere und die untere Hälfte verschieden; daher gibt es senkrecht zu dieser Achse keine weiteren Achsen.
2. Die drei Becher
  henkellos: Symmetrie wie bei einer Flasche, vgl. oben;
  Kaffeebecher mit einem Henkel: keine Drehsymmetrie;
  Trinkbecher mit zwei Henkeln: Drehung um 180° möglich, eine zweizählige Achse.
3. Die Ascher
  ohne Ablage: wie bei der Flasche eine unendlichzählige Achse;
  mit drei oder vier Ablagen: drei- bzw. vierzählige Achse.

Spiegelsymmetrie

Übung
Die Objekte aus der belebten Natur sind - genau besehen - niemals symmetrisch. Die Form eines Seeigels muss idealisiert werden. Erst dann besitzt der Seeigel eine fünfzählige Drehachse. Objekte aus der Technik kommen der idealen Form sehr viel näher. Aber auch sie haben kleine Unregelmäßigkeiten. Ein einziger Kratzer macht aus einem Würfel aus Glas ein unsymmetrisches Objekt. Nur der Würfel der Geometrie - das reine Gedankending - ist wirklich perfekt und hochsymmetrisch.

Chiralität

Übung 2
Eine Nebenbemerkung: Es gibt eine Nomenklatur zur eindeutigen Bezeichnung der Händigkeit oder absoluten Konfiguration chiraler Moleküle; die wollen wir hier aber nicht zur Sprache bringen. Die Verwendung zweier Formeln wie CABCD und ent-CABCD besagt nur, dass die beiden Moleküle entgegengesetzte Händigkeit haben, oder anders ausgedrückt, dass sie zueinander enantiomer sind.

Translatorische Symmetrie

Übung 1
Der Elementarbereich ist in der Abbildung acht Mal enthalten.

Übung 2
In der spiegelsymmetrischen Variante ist der Elementarbereich doppelt so groß wie im ersten Beispiel. Er ist vier Mal in der Abbildung enthalten.

Punktsymmetrie und Raumsymmetrie

Übung 1
Zu 2. Die Drehpunkte befinden sich im schwarzem Teil genau auf einer das Ornament halbierenden, waagerechten Linie. Eine Art von Drehpunkten liegt im Zentrum des kürzesten vertikalen Teilstücks, die andere im längsten vertikalen Teilstück. Im abgebildeten Ausschnitt sind es jeweils acht Drehpunkte.
Zu 3. Nur noch die Drehpunkte im kürzesten vertikalen Teilstück des Mäanders sind erhalten. Es gibt außerdem Spiegellinien im längsten vertikalen und schwarzen Teilstück des Mäanders. Im abgebildeten Ausschnitt sind es acht Spiegellinien.

Übung 2
1. b und q sind das gleiche Objekt, nur verschieden aufgestellt. Das Gleiche gilt für d und p. b ist das Spiegelbild von d; und ebenso ist p das Spiegelbild von q.
2. Friesornamente.
a) Das Friesornament bbbb... hat nur translatorische Symmetrie.
b) Das Ornament SSSS... hat zweizählige Drehpunkte in der Mitte des "S".
c) bdbdbd... oder ebenso gut VVVV... haben Spiegelsymmetrie; die Spiegellinie steht senkrecht zur Richtung des Bandornaments.
d) CCCCC... hat Spiegelsymmetrie; die Spiegellinie ist parallel zur Richtung des Bandornaments. Man kann die gleiche Symmetrie mit einem zweizeiligen Bandornament realisieren.
bbbb...
pppp...
e) XXXX... hat zweizählige Drehpunkte in der Mitte des "X" und horizontale und vertikale Spiegellinien. Man kann die gleiche Symmetrie wieder auch mit einem zweizeiligen Bandornament realisieren.
bdbdbd...
pqpqpq...
f) Das zweizeilige Friesornament
bxbxbx...
xpxpxp...
zeigt eine neue Art von Symmetrie. Die obere Zeile deckt sich mit der unteren, wenn man sie um eine halbe Translationsperiode t/2 verschiebt und gleichzeitig an einer waagerechten Linie zwischen den Zeilen nach unten spiegelt. Die waagerechte Linie heißt Gleitspiegellinie. Gleitspiegelungen werden erst bei den Kristallsymmetrien behandelt.
g) Schließlich kann man die waagerechte Gleitspiegellinie mit einer vertikalen Spiegellinie wie im folgenden Muster kombinieren:
bdxxbdxxbd...
xxpqxxpqxx...
Schlussbemerkung: Man kann mathematisch beweisen, dass es bei Friesornamenten genau sieben Symmetrien gibt, nämlich genau die sieben, für die wir hier Beispiele diskutiert haben.

Übung 3
1. Der Ausschnitt ist endlich. Die Lateralsymmetrie des Musters wird an den Rändern der Abbildung gebrochen.
2. Die eine Art vertikaler Spiegellinien geht durch Mittelpunkte des vierflügeligen Motivs, die andere halbiert die hellen, vertikalen Streifen des Musters. Entsprechendes gilt für die horizontalen Spiegellinien.
3. Die Schnittpunkte von waagerechten und senkrechten Spiegellinien sind zweizählige Drehpunkte oder Symmetriezentren. In der 2D-Welt sind zweizählige Drehpunkte und Symmetriezentren identisch.

4. Die Wahl des Elementarbereichs ist willkürlich; es muss nur das Motiv des Musters einmal und vollständig enthalten sein. Es ist aber (fast immer) zweckmäßig, den Elementarbereich so zu wählen, dass keine Punktsymmetrien des Musters verloren gehen. Unter dieser Bedingung muss der Elementarbereich ein Rechteck sein; die seitlichen Begrenzungen müssen Spiegellinien sein. Es gibt damit vier Möglichkeiten für die Wahl des Elementarbereichs.

Schlussbemerkung zu Übung 3:
Unser Ziel war es, die Punktsymmetrien eines 2D-Musters zu erkennen. Wir haben dabei ganz unerwartet etwas Neues entdeckt. Die Willkür bei der Wahl des Elementarbereichs verschwindet fast ganz (in anderen Fällen ganz), wenn wir alle Punktsymmetrien des Musters erhalten wollen.

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