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  2.7.1. Allgemeine Aspekte
  2.7.2. Punktgruppen mit höchstens einer Dreh- oder Drehspiegelachse
  2.7.3. Diedergruppen
  2.7.4. Hochsymmetrische Punktgruppen
  2.7.5. Eine provisorische Schlussbemerkung

In diesem Kapitel befassen wir uns nochmals mit der systematischen Aufzählung der Punktgruppen, jetzt aus der Sicht des Hermann-Mauguin-Systems.

Die Übersetzung der Symbole vom einen in das andere System ist mühsam. Wir raten alle Aussagen, die nicht unmittelbar einleuchten, mit Hilfe von Stereogrammen nachzuvollziehen. Die Stereogramme der Punktsymmetrien beschreiben die Symmetrie ja unabhängig davon, ob man gerade das Schoenflies- oder das Hermann-Mauguin-System benutzt.

2.7.1. Allgemeine Aspekte

Wir erinnern uns: Es gibt unendlich viele Punktgruppen; die Zähligkeit von Drehachsen und Drehspiegelachsen bzw. Inversionsachsen ist nicht begrenzt. Autoreifen und Zahnräder sind bekanntlich Beispiele für Alltagsobjekte, deren Punktgruppen Drehachsen hoher Zähligkeit aufweisen.

Bei klassischen Kristallen, also dreidimensional-periodischen Festkörpern, ist das nicht so. Wir nehmen ohne Beweis zur Kenntnis, dass nur 2-, 3-, 4- und 6-zählige Drehachsen und Inversionsachsen mit der Symmetrie klassischer Kristalle vereinbar sind. Wir haben es nicht mehr mit unendlich vielen, sondern nur mit einer definierten und kleinen Zahl, nämlich mit 32 Punktgruppen zu tun. Diese 32 Punktgruppen heißen kristallographische Punktgruppen. Man hat schon im 18. Jahrhundert begonnen, Kristalle nach ihrer Symmetrie zu klassifizieren, und hat dabei 32 Kristallklassen gefunden. Die beiden Begriffe "kristallographische Punktgruppen" und "Kristallklassen" werden heute oft wie Synonyme gebraucht.

Das Hermann-Mauguin-System wird üblicherweise von Kristallographen, Festkörperchemikern und Festkörperphysikern benutzt. Deshalb sind Punktgruppensymbole nach Hermann-Mauguin nur für die 32 kristallographischen Punktgruppen gebräuchlich, obwohl auch dieses System prinzipiell auf alle Punktgruppen anwendbar ist.

In Kapitel 2.6 hatten wir gelernt, dass unterschiedliche Spiegelebenen im Hermann-Mauguin-System nicht wie bei Schoenflies durch verschiedene Symbole unterschieden werden, sondern durch ihre Anordnung im Punktgruppensymbol. Die Reihenfolge der Symmetrielemente im Hermann-Mauguin-Symbol wird bei den kristallographischen Punktgruppen mit Hilfe der Vorzugsrichtungen der Kristalle, den so genannten Blickrichtungen, festgelegt. In den meisten Lehrbüchern findet man deshalb zuerst Erläuterungen zum Kristallbau und dann darauf aufbauend die Aufzählung der Punktgruppen; dabei beschränkt man sich natürlich auf die 32 kristallographischen Punktgruppen. Dagegen wollen wir in diesem Kapitel eine systematische Aufzählung aller Punktgruppen nach Hermann und Mauguin präsentieren.

2.7.2. Punktgruppen mit höchstens einer Dreh- oder Drehspiegelachse

Wir beginnen die Aufzählung mit den Punktgruppen, die durch eine Drehachse (und nichts mehr) erzeugt werden (1. Klasse). Es folgen die Punktgruppen, die durch eine Inversionsachse (und nichts mehr) erzeugt werden (2. Klasse). Danach nehmen wir vertikale Spiegelebenen (3. Klasse) bzw. horizontale Spiegelebenen (4. Klasse) hinzu.

1. Punktgruppen mit einer Drehachse

Bei diesen einfachsten Gruppen ist die Entsprechung zum Schoenflies-System trivial.

 HM: 1, 2, 3, ...
 SS: C_n = [C_n] mit n = 1, 2, 3, ...

2. Punktgruppen mit einer Inversionsachse

 HM: , = m, , , ...

Bezüglich der Entsprechung zum Schoenflies-System muss man drei Unterklassen unterscheiden.

 1. HM: = , , , ... mit ungeradem n.
 SS: C_ni = [C_n, i] mit n = 1, 3, 5, ...
 2. HM: = , , , ... mit doppelt ungeradem n.
 SS: C_(n/2)h = [C_(n/2), σ_h] mit n/2 = 1, 3, 5, ...
 3. HM: = , , ... mit doppelt geradem n.
 SS: S_n = [S_n] mit n = 4, 8, ...

3. Punktgruppen mit einer Drehachse und vertikalen Spiegelebenen

Im Hermann-Mauguin-System wird zwischen den Gruppen mit geradem n und denen mit ungeradem n unterschieden.

 HM, n = g: 2mm, 4mm, 6mm, ...
 HM, n = u: 3m, 5m, ...
 SS: C_nv = [C_n, σ_v] mit n = 2, 3, ∞

Für ungerades n gibt es nur eine Art von vertikalen Spiegelebenen; die Gruppensymbole 3m, 5m usw. zeigen neben der Drehachse nur ein "m". Dagegen gibt es für gerades n zwei Arten von Spiegelebenen; die Gruppensymbole 2mm, 4mm, 6mm usw. haben deshalb zwei "m". Dieser Unterschied kommt in den Stereogrammen der Gruppen 2mm (C_2v) und 3m (C_3v) sehr deutlich zum Ausdruck.
Entsprechend dem minimalistischen Stil des Hermann-Mauguin-Systems findet man in älteren Texten für die Gruppe 2mm die kürzere Schreibung mm, weil die zweizählige Achse durch die zwei Spiegelebenen bereits impliziert ist; später ist 2mm konventionell geworden, um die Ähnlichkeit zu den anderen Gruppen 4mm, 6mm usw. zu wahren.

4. Punktgruppen mit einer Drehachse und einer horizontalen Spiegelebene

Hier muss man wieder zwischen den Gruppen mit geradem n und denen mit ungeradem n unterscheiden.

 1. HM, n = g: 2/m, 4/m, 6/m, ...
 SS: C_nh = [C_n, σ_h] mit n = 2, 4, 6, ...
 Diese Gruppen sind neu.
 2. HM, n = u: , , , ...
 SS: C_ni = [C_n, i] mit n = 1, 3, 5, ...
 Diese Gruppen sind bereits unter 2. aufgetreten.

Die Gruppensymbole n/m werden "n über m" gesprochen. Man schreibt sie oft wie einen Bruch mit waagerechtem Strich für die Spiegelebene, um an die horizontale Stellung zur Drehachse zu erinnern.

Wir fassen die Ergebnisse dieses Unterkapitels in einer Tabelle zusammen, die eine Übersicht über die Gruppensymbole im Hermann-Mauguin- und im Schoenflies-System gibt.

  Tabelle: Schoenflies- und Hermann-Mauguin-Notation für diese Gruppen

2.7.3. Diedergruppen

Wir erzeugen jetzt die Diedergruppen, indem wir zu den Gruppen der obigen Klassen 1. - 4. zweizählige Nebenachsen hinzufügen.

5. Diedergruppen: Gruppen mit einer n-zähligen Hauptachse und zweizähligen Nebenachsen

Wir unterscheiden zwischen den Gruppen mit geradem n und denen mit ungeradem n. Die Situation ist ganz ähnlich wie oben in der 3. Klasse.

 HM, n = g: 222, 422, 622, ...
 HM, n = u: 32, 52, ...
 SS: D_n = [C_n, C₂] mit n = 2, 3, ...

Für ungerades n gibt es nur eine Art von Nebenachsen; die Gruppensymbole 32, 52 usw. zeigen neben der Hauptachse nur eine "2" für die Nebenachsen. Dagegen gibt es für gerades n zwei Arten von Nebenachsen; die Gruppensymbole 222, 422, 622 usw. enthalten deshalb zweimal eine "2". Dieser Unterschied ist in den Stereogrammen der Gruppen 222 (D₂) und 32 (D₃) sehr schön zu sehen.

6. Diedergruppen mit einer n-zähligen Inversionsachse und zweizähligen Nebenachsen

Da wir drei Arten von Inversionsachsen haben, müssen drei Unterklassen untersucht werden.

 1. HM: m, m, ... mit ungeradem n.
 SS: D_nd = [C_n, C₂, σ_v] mit n = 3, 5, ...
 Beispielsweise entspricht das Hermann-Mauguin-Symbol m dem Schoenflies-Symbol D_3d.
 2. HM: 2m, 2m, ... mit doppelt ungeradem n.
 SS: D_(n/2)h = [C_(n/2), C₂, σ_h] mit n/2 = 3, 5, ...
 Es entspricht also z.B. das Symbol m2 dem Schoenflies-Symbol D_3h.
 3. HM: 2m, 2m, ... mit doppelt geradem n.
 SS: D_(n/2)d = [C_(n/2), C₂, σ_d] mit n = 4, 8, ...
 Hier entspricht 2m dem Schoenflies-Symbol D_2d.

Anmerkungen
1. Die Inversionsachsen und können bei den Diedergruppen nicht vorkommen.
2. Die angegebenen Entsprechungen sollte man wieder durch Konstruktion der Stereogramme verifizieren.
3. Das Beipiel m haben wir erhalten, indem wir zu eine zweizählige Nebenachse hinzugefügt haben. Dabei entstehen diagonale Spiegel. Das Hermann-Mauguin-System gibt Spiegeln den höheren Rang; deshalb im Symbol der Spiegel statt der zweizähligen Nebenachse.
4. Bei den Symbolen 2m und 2m gibt es noch formale Details, die wir mit den einfachen bisherigen Mitteln nicht begründen können. Das muss der Sauberkeit halber angemerkt werden; wir raten aber, sich hier nicht aufzuhalten

7. Die noch fehlenden Diedergruppen mit einer horizontalen Spiegelebene

Wir fahren mit unserer Aufzählung fort, indem wir zu den Gruppen der obigen dritten Klasse zweizählige Nebenachsen hinzufügen. Da schon vertikale Spiegel vorliegen, entsteht mit dem Hinzufügen der Nebenachsen eine horizontale Spiegelebene.

 1. HM (aus 2mm, 4mm, ...): mmm, 4/mmm, 6/mmm, ...
 SS: D_nh = [C_n, C₂, σ_h] mit n = 2, 4, 6, ...
 Diese Gruppen sind die bisher noch fehlenden Diedergruppen.
 2. HM (aus 3m, 5m, ...): m2, m2, ...
 SS: D_nh = [C_n, C₂, σ_h] mit n = 3, 5, ...
 Diese Diedergruppen sind bereits in der 6. Klasse (Unterklasse 2) enthalten.

In der ersten Unterklasse zeigt das Gruppensymbol die Zähligkeit der Hauptachse, die hinzugekommene horizontale Spiegelebene und die zwei Arten vertikaler Spiegelebenen an. Wenn alle drei Achsen zweizählig sind, hat man ein Tripel aufeinander senkrecht stehender Spiegelebenen. Das Gruppensymbol ist hier mmm (statt 2/mmm). Die Anwesenheit der zweizähligen Achsen ist implizit.

Anmerkung
Es verbleibt oben noch die 4. Klasse, zu der wir zweizählige Nebenachsen hinzufügen können. Wir erwarten natürlich nicht, noch neue Diedergruppen zu finden, und verzichten deshalb auf die tatsächliche Durchführung.

Wir fassen auch dieses Unterkapiel in einer Tabelle zusammen, die eine Übersicht über die Gruppensymbole im Hermann-Mauguin- und im Schoenflies-System gibt.

  Tabelle: Schoenflies- und Hermann-Mauguin-Notation für diese Gruppen

2.7.4. Hochsymmetrische Punktgruppen

Die hochsymmetrischen Punktgruppen besitzen mehrere Achsen mit Zähligkeiten n > 2. Es gibt bekanntlich 7 hochsymmetrische Punktgruppen, die wir mit ihren Hermann-Mauguin-Symbolen hier auflisten.

 1. 23 für die tetraedrische Drehgruppe (T)
 2. 3m (T_d)
 3. m (T_h)
 4. 432 für die oktaedrische Drehgruppe (O)
 5. mm (O_h)
 6. 532 für die ikosaedrische Drehgruppe (I)
 7. m (I_h)

Anmerkungen

1. Die Punktgruppen 1 - 5 sind die kubischen Punktgruppen. Die erste Blickrichtung ist durch das orthogonale Achsendreibein gegeben. Die zweite ist die Richtung der dreizähligen Achse, die dritte ist die Richtung der zweizähligen Achse von Kubus und Oktaeder. Dies ergibt die Symbole der Gruppen 23 und 432.
2. Wenn Spiegelsymmetrie hinzukommt, werden statt der Drehachsen die Inversionsachsen in den gleichen Blickrichtungen genannt. Wenn zu einer Achse eine horizontale Spiegelebene vorliegt, wird statt der Achse der Spiegel im Symbol genannt. So steht im Symbol mm das erste m für die zu den vierzähligen Achsen horizontalen Spiegelebenen und das zweite für die zu den zweizähligen Achsen horizontalen Spiegelebenen.
3. Die fünfzähligen Drehachsen der Ikosaedergruppe sind nicht kompatibel mit einem dreidimensional-periodischen Kristallbau. Es kann im klassischen Kristall keine fünfzählige Symmetrie geben. Moleküle mit ikosaedrischer Symmetrie werden im Kristall durch Gitterkräfte unter Symmetrieernierdrigung deformiert.
4. Die Kristallographie kann deshalb für den Fall ikosaedrischer Symmetrie keine Blickrichtungen angeben. Das Symbol 532 nennt die drei Arten von Drehachsen nach abnehmender Zähligkeit. Wenn Spiegelsymmetrie hinzukommt, treten an die Stelle der Drehachsen wieder Inversionsachsen. Das ergibt das Symbol m.

2.7.5. Eine provisorische Schlussbemerkung

Das ganze zweite Kapitel des SMX-Projekts war den Punktsymmetrien gewidmet. Zuletzt mussten wir in unseren Erklärungen auf die Kristallographie verweisen, also den bisher selbst gesteckten Rahmen überschreiten. Wenn das SMX-Projekt Leser, freundliche Kritiker und Mitmacher findet, sollten weitere Kapitel die Ideen des Kapitels 1.2 wieder aufgreifen und uns über die translatorische Symmetrie zu den Schönheiten des Kristallbaus führen.

Wir fügen zwei Bilder an, die diesen Gedanken stärken sollen: eines von einem Kupfer(II)-sulfat-pentahydrat-Kristall aus dem Grundpraktikum und eines von einem nicht näher definierten Kristall aus dem Schlenkrohr eines Doktoranden. Hätten wir nicht den Grund und die intellektuelle Neugierde, hier weiter zu studieren?

  smx-projekt@ac.rwth-aachen.de